QED進学塾の小6生～昨日の算数

QED進学塾の小6生の昨日の算数です。

昨日児童は「場合の数」の「順列」と「組み合わせ」を学習しました。

塾長が昨日のQED日誌の記事に書いた通りの理由で、児童は1問を複数の解法で解くことを学びました。

その中の1問に「サッカーの5チームの総当たり戦の組み合わせ」を求める問題がありました。

【解法1】対戦表を書いて調べる。

（【解法1】のその1）

児童のテキストで誘導がかかっていたのがこの解法でした。

児童は、表にひらがなとカタカナを記入しました。

たとえば、

Aチーム対Bチームの試合（Aチームのホームゲーム）に「あ」と記入したなら、

Bチーム対Aチームの試合（Bチームのホームゲーム）に「ア」と記入します。

もし、一般的なサッカーのリーグ戦である、ホーム・アンド・アウェー方式の2回総当たりのリーグ戦ならば、「あ」と「ア」は別物で、もちろん2試合とカウントします。

しかし、この問題の設定は1回総当たりのリーグ戦なので、「あ」と「ア」は同じ試合で1試合とカウントします。

ひらがなは「あ」～「こ」なので、総試合数は10試合、

対称性により当然のことながら、カタカナも「ア」～「コ」の10試合です。

よって、答えは10試合。

（【解法1】のその2）

また、児童は以下のような計算で求めることもできるようになりました。

対戦表に斜め線を書く。

すると、「Aチーム対Aチーム」のように実際にはない対戦が5試合消せる。

ところで、対戦表のマス目は、5×5＝25。

以上のことから、25－5＝20試合。

ところが、これでは「あ」と「ア」のように1試合を2回カウントしていることになるので、

20÷2＝10試合。

これが答えとなります。

【解法2】正5角形を書いて調べる。

正5角形の5つの頂点にA～Eの名前を付けます。

正5角形の辺は5本。（5試合）

正5角形の対角線は5本。（5試合）

よって、5×2＝10試合。

【解法3】「順列」→「組み合わせ」を求める。

初めに、5チームの中から1チームを選ぶ。＝5通り。

次に、残りの4チームの中から1チームを選ぶ。＝4通り。

（順列は5×4＝20通り。）

ここで、A対BとB対Aのように同じ試合を2回カウントしていることに気付けば、

組み合わせは5×4÷2＝10通り。

よって、10試合。

児童のお気に入りは【解法2】でした。

ただし、【解法2】は「3つ以上のものから2つを選ぶ組み合わせ」にのみ使える解法です。

児童が上記の3つの解法（細分化すれば4つの解法）を何度も演習して、自信を持って日曜日の模試に臨んでくれることを塾長は願っています。